Boolesche Algebra

George Boole

George Boole wurde am 2. November 1815 in Lincoln geboren. Boole erwarb seine Kenntnisse in der Mathematik zum großen Teil autodidaktisch. 1849 errang er eine Professur im Fach Mathematik am University College in Cork (Irland). In seinem Werk "An Investigation of the Laws of Thought" beschrieb Boole 1854, die später unter dem Namen bekannte Boole'sche Algebra. Die Boole'sche Algebra hat für das Studium der Mathematik und für die Entwicklung der heutigen Computer eine entscheidende Bedeutung. Georg Boole starb am 8.Dezember 1864 in Ballintemple bei Cork.

Boole'sche Algebra

Die Boole'sche Algebra wurde 1854 vom britischen Mathematiker George Boole entwickelt und nach ihm benannt. George Boole hatte das System ursprünglich dafür entworfen, Zusammenhänge in philosophischen Problemen durch mathematische Formulierungen darzustellen. Bei der Algebra der Logik wird ein Problem auf eine Reihe von wahren (TRUE) und falschen Aussagen (FALSE) reduziert. Ein Problemlöser kann mit Hilfe der Konjunktion - AND, Disjunktion - OR und Negation - NOT jedes logische Problem lösen, so kompliziert es auch seien mag. Die Boolesche Logik ist heute Grundlange für die Funktionsweise aller Computer- und Programmiersprachen . Alle Booleschen Funktionen lassen sich durch einfache Wahrheitstabellen darstellen, in denen TRUE durch eine 1 und FALSE durch eine 0 repräsentiert werden. Weitere logische Funktionen wie XOR, NAND, NOR entstehen durch Kombination der drei Grundfunktionen. Alle Computer nutzen das binäre Zahlensystem, das nur aus den Zahlen 0 und 1 besteht. Damit ergibt sich eine enge Verknüpfung mit der Booleschen Algebra. Auch in der Hardware hat die Boolesche Algebra eine bedeutende Rolle. Die Chip bestehen fast immer aus Logik-Grundschaltungen (Gattern), die zwei Eingangssignale logisch verknüpfen.

Logische Schaltungen

Die Boolesche Algebra ermöglicht das konstruieren von logischen Schaltungen. Logische Schaltungen sind Digitalschaltungen zur Verknüpfung von Digitalsignalen nach den Regeln der Booleschen Algebra. Eine Logikschaltung, die nur Verknüpfungsglieder enthält, wird als Schaltnetz bezeichnet; wenn sie darüber hinaus auch Speicherglieder enthält, wird sie als Schaltwerk bezeichnet. Digitalschaltungen haben grundsätzlich nur zwei Schaltzustände (0/1). In Schaltelementen werden ganz bestimmte Eingangssignale in davon abhängige Ausgangssignale umgewandelt.

AND - Konjunktion:

Der Ausgang C ist nur dann 1, wenn alle Eingänge 1 sind.
OR - Disjunktion:

Der Ausgang C ist dann 1, wenn mindestens ein Eingänge 1 ist. Der Ausgang C ist nur dann 0, wenn alle Eingänge 0 sind.
NOT - Negation (Inverter):

Bei der NOT Schaltung ist der Ausgangszustand stets das Inverse des Eingangzustands. Der Ausgang C ist 1, wenn der Eingang B 0 ist. Der Ausgang C ist 0, wenn der Eingang B 1 ist. ( Q = A)

NAND - NICHT UND:

Die NAND Schaltung besteht aus einer AND Schaltung mit anschließender Nicht Schaltung. Der Ausgang C ist 1, wenn ein Eingang 0 ist. Der Ausgang C ist 0, wenn alle Eingänge gleich sind.
NOR - NICHT ODER :

Die NOR Schaltung besteht aus einer Oder Schaltung mit anschließender Nicht Schaltung.
EXOR - Exklusiv-ODER - Antivalenz:

Der Ausgang C ist 1, wenn alle Eingänge unterschiedlich sind. Der Ausgang C ist 0, wenn alle Eingänge gleich sind.