Die Napierschen Rechenstäbe

Allgemein

Die Erfindung der Rechenstäbe des schottischen Mathematikers Lord Lapier of Merchiston (1550-1617) war für die Entwicklung in der Informatik sehr bedeutend. Napier entwickelte im Zusammenhang mit den Rechenstäben die Logarithmen. Napier selbst hielt seine Rechenstäbe für eher unbedeutend, so dass er sie auch erst in ihm Jahr 1617 veröffentlichte. Die Napierschen Rechenstäbe ermöglichten es erstmals mehrstellige Zahlen schnell und unkompliziert zu muliplizieren. Die quarderförmigen Stäbe besitzen auf ihren Seitenflächen jeweils eine Kolonne des kleinen Einmaleins. Multiplikation bzw. Subtrakion von ein- oder mehrstelligen Zahlen lassen sich durch entsprechendes Zusammenlegen der Stäbe zu einer Addition bzw. Subtraktion vereinfachen. Die Napierschen Rechenstäbe wurden bis ins 19. Jahrhundert intensiv genutzt. 1620 wurde die logarithmische Skalierung der Rechenstäbe von Prof. Edmund Gunter aufgegriffen, dieser entwickelte daraus den Vorgänger des Rechenschiebers.

Entwicklung der Rechenstäbe

1
2
3
4
5
6
7
8
9
2
4
6
8
10
12
14
16
18
3
6
9
12
15
18
21
24
27
4
8
12
16
20
24
28
32
36
5
10
15
20
25
30
35
40
45
6
12
18
24
30
36
42
48
54
7
14
21
28
35
42
49
56
63
8
16
24
32
40
48
56
64
72
9
18
27
36
45
54
63
72
81
In der Antike nutze man Multiplikationstabellen wie die Einmaleins Tafeln (Abbildung) zur Berechnung einer Multiplikation. Bei dem von Pythagoras (580-500 v.Chr.) entwickelten Verfahren, sucht man die Zeile auf in der der erste Faktor steht, anschließend in den Spalten den zweiten Faktor. Daraufhin findet man im Kreuzungspunkt Ergebnis der Multiplikation. Für die Multiplikation von 7 x 8 ergibt sich somit 56. Sind mehrstellige Zahlen zu muliplizieren, so werden Teilprodukte gebildet und anschließend, entsprechend der schriftlichen Muliplikation addiert.

Napiersche Rechentafel

John Napier erforschte zunächst die Multiplikation einer beliebigen natürlichen Zahl mit einer einstelligen Zahl. Es ergab sich, dass für diese Multiplikation allein das kleine Einmaleins benötigt wurde. Damit das Produkt bestimmt werden kann, müssen die Teilergebnisse richtig addiert werden. Napier veränderte die Einmaleins Tafeln nun so, dass neben den Produkten auch die addierenden Zahlen sofort erkennbar waren, indem der transversale Linien und die zugehörigen Zahlen hinzufügte (Abbildung). Anschließend trennte er die Tafel den Spalten nach und fertigte von jedem Stab mehrere Kopien an. Damit ließen sich beliebige Multiplikationen ausführen.


Multiplikation

Ein Einstelliger Faktor

Um eine mehrstellige Zahl mit einer einstelligen Zahl zu multiplizieren bildet man zunächst die mehrstellige Zahl aus den Rechenstäben, anschließend den einstelligen Faktor aus der Spalte. Damit reduziert sich das Problem auf eine Additionsaufgabe. Möchte man das Produkt aus 6 x 327 bestimmen, so setzt man aus den einzelnen Stäben die Zahl 327 zusammen (Abbildung). Daraufhin geht man in die 6. Zeile, die Zeile entspricht dem Faktor 6. Dann addiert man von rechts nach links, die schräg übereinander stehenden Zahlen. Daraus ergibt sich das Ergebnis 1962.

Mehrstellige Faktoren

Zur Muliplikation mehrstelliger Zahlen muss man einen Umweg gehen, indem man die einzelnen Ziffern multipliziert und die Zwischenergebnisse addiert. Beispiel: 328 x 6827 Ergebnis: 2239256 Die Rechnung mit mehrstelligen Faktoren wird somit etwas komplizierter, jedoch immer noch einfacher als durch schriftliche Multiplikation.

Division

Die Division ist nicht direkt mir den Napierschen Rechenstäben ausführbar. Sie lässt sich jedoch auf den Algorithmus der schriftlichen Division zurückführen. Dabei dienen die Rechenstäbe der Vereinfachung von Zwischenschritten. Der entscheidende Vorteil beim Dividieren liegt darin, dass der jeweiligen Quotienten lediglich vergleichen werden muss. Das folgende Beispiel soll die Arbeitsweise veranschaulichen: Zuerst legt man sich aus den Rechenstäben den Divisor 6827. Die Produkte einzelnen lassen sich jetzt erkennen. Das Produkt wird nun an den Divisor 25608 angenähert. Die Zeilennummer entspricht der erster Ziffer des Quotienten. Der erste Quotiert ergibt demnach 3. Anschließend folgt die bekannte Rückrechnung und Differenzbildung. Darauf nimmt man die nächste Ziffer aus dem Dividenden und setzt den Algorithmus, wie beschrieben fort.